数值分析

课程编号：0701010110

课程基本情况：

1. 课程名称：数值分析

2. 英文名称：Numerical Analysis

3. 课程属性：专业必修课

4. 学　　分：3    总学时：48

5. 适用专业：数学与应用数学

6. 先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程

7. 考核形式：考查

    

   一、本课程的性质、地位和作用

   《数值分析》是数学类专业（如应用统计学）的专业必修课，随着计算机技术的发展和科学技术的进步，科学与工程计算（简称科学计算）的应用范围已扩大到许多的学科领域，已经形成了一些边缘学科．例如计算物理、计算力学、计算化学等．目前实验、理论和计算已经成为了人们进行科学活动的三大方法．因此，学习和掌握《数值分析》即《计算方法》是非常必要的．

   《数值分析》是数学的一个分支，但它又不象纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论．由于《数值分析》课程与计算机的密切关系及该课程的特殊性，该课程的建设不仅使数学类专业学生受益，还可使学校理科专业学生受益．

   二、教学目的与要求

   1．教学目的

   通过本课程的讲授和学习，使学生了解和掌握数值计算方法及相关的数学理论；会将最基本、最常用的数值计算方法变为程序．

   2．教学要求

   本课程的教学应重视数值分析的基础知识与技能，为以后进一步从事科学计算方面的学习、研究和应用打下基础．要求学生牢固掌握基本概念、基本理论和方法建立的原理、掌握科学与工程计算中常用计算方法的构造及误差分析，讨论方法的稳定性、复杂性等，并借助于程序设计语言或数学软件等将算法设计与计算机的实现紧密相结合，提高在计算机上解题的技巧与能力．

   三、课程教学内容及学时安排

   按照教学方案安排，本课程安排在第5学期讲授，全学程共48学时，其中课内讲授27学时，习题课5学时，实验课16学时．具体讲授内容及学时安排见下表：

   《数值分析》教学内容及学时分配表

四、参考教材、相关推荐书目及课程资源

1．参考教材

王希云． 计算方法． 国家开放大学出版社, 2020．

2．参考书目

[1] 李庆扬等． 数值分析． 清华大学出版社, 2008．

[2] 薛毅． 数值分析与实验． 北京工业大学出版社, 2007．

[3] 蔡大用编： 《数值分析与实验学习指导》, 清华大学出版社, 2001年．

[4] 周品等编著： 《Matlab数值分析》, 机械工业出版社, 2009年．

[5] 任玉杰． 《数值分析及其MATLAB实现》, 高等教育出版社, 2007年．

3． 课程资源

（1）本课程的学习资源包括教材、图书馆相关书籍、网络平台相关资料等；

（2）学生通过登录中国大学慕课(https://www．icourse163．org/)网络平台,参考大连理工大学于波、董波、张旭平老师主讲的《数值分析》或者东北大学邵新慧、史大涛、陈艳利等老师主讲的《数值分析》在线开放课程进行学习．或者参考其它网络平台及相关书籍进行自主学习．

五、课程目标

1． 课程具体目标

通过本课程的学习，使学生达到以下目标：

课程目标1：使学生了解数值分析研究的对象及特点，掌握用数值分析方法解决实际问题的算法原理及理论分析．了解误差来源与分类，理解绝对误差、相对误差和有效数字的概念及其误差传播原理；比较熟练数学软件Matlab等，能独立地熟练编写数值算法程序，应用数学知识分析和解决实际问题的能力．【毕业要求3学科素养】

课程目标2：熟练掌握常用的线性方程组的数值解法，例如Guass消去法、三角分解法、迭代法；掌握非线性方程的数值解法，例如二分法、牛顿迭代法等；掌握插值方法，如拉格朗日插值、牛顿多项式插值、分段插值；理解函数曲线拟合的概念，掌握曲线拟合的最小二乘法；掌握构造数值积分公式的基本思想，理解代数精度的概念；掌握复化求积公式的方法、龙贝格求积算法；掌握构造高斯求积公式的思想；掌握构造数值微分公式的基本思想；掌握基本的常微分方程数值解的方法；掌握Matlab软件基本语法，并用Matlab实现各种数值算法，分析结果并绘图．【毕业要求3学科素养】

课程目标3：具有一定创新意识，运用数值分析思想方法，学会发现问题、分析问题并能解决教育教学实际问题，形成较好的教育反思能力．【毕业要求7学会反思】

2. 课程目标与专业毕业要求的关系

3. 课程学习内容与课程目标的关系

 

 

六、教学内容安排

第1章 绪论(5学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学使学生初步使学生初步了解数值算法的研究对象和特点，理解误差的种类和概念，掌握有效数字的求法，会求相对误差和绝对误差，对数据误差引起的病态问题能正确看待，并会对其进行判断．

1．掌握数值算法的研究对象和特点；

2．了解误差限、相对误差、绝对误差、截断误差、舍入误差的概念，会求有效数字；

3．数值算法设计的注意事项．

【教学重点】

相对误差，绝对误差，有效数字、截断误差、舍入误差．

【教学难点】

有效数字，截断误差，Matlab编程实现算法．

【教学方法】

1．讲授法：通过多媒体课件和传统教学相结合，阐明课程教学内容，使得学生掌握本章节的基本知识；

2．讲练结合法：采用以教师讲授为主，课堂练习、讨论为辅的授课方式，强化学生数值计算能力和应用能力的培养；

3．实验法：通过上机编程，训练提升学生的动手能力、小组沟通协作能力、逻辑思维能力等，逐步提升利用数学软件解决实际问题能力．

【教学内容】

1．数值分析的对象、作用与特点；

2．数值计算的误差；

3．误差定性分析与避免误差的危害；

4．数值计算中算法设计的技术；

5．数学软件；

6．通过具体例题计算，使用数学软件上机编程，加深掌握误差分析、算法的稳定性等知识点．

【复习思考】

1．数值分析与数学科学、计算机科学的关系如何？

2．列举科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别．

3．什么是算法的稳定性？如何判断算法的稳定性？为什么不稳定算法不能使用？

第2章 线性方程组的数值解法(10学时)

【教学目的与要求】

通过本章的教学使学生初步使学生初步了解线性方程组的数值解法的一般理论，要求学生：

1．掌握用顺序Gauss消去法求解方程组及其通用程序；

2．掌握用列主元Gauss消去法求解方程组及其通用程序；

3．解三对角方程组的追赶法；

4．用LU分解法解线性方程组及其通用程序；

5．解对称正定方程组的Cholesky分解法；

6．迭代法的一般理论；

7．雅克比迭代法及其通用程序；

8．高斯赛德尔迭代法及其通用程序；

9．逐次超松弛迭代法及其通用程序．

【教学重点】

列主元Gauss消去法，LU分解法．雅克比迭代法、高斯赛德尔迭代法．

【教学难点】

解对称正定方程组的Cholesky分解法，迭代法的收敛定理．

【教学方法】

1．讲授法：通过多媒体课件和传统教学相结合，阐明课程教学内容，使得学生掌握本章节的基本知识；

2．讲练结合法：采用以教师讲授为主，课堂练习、讨论为辅的授课方式，强化学生数值计算能力和应用能力的培养；

3．实验法：通过上机编程，训练提升学生的动手能力、小组沟通协作能力、逻辑思维能力等，逐步提升利用数学软件解决实际问题能力．

【教学内容】

1．掌握用顺序Gauss消去法求解方程组及其通用程序；

2．掌握用列主元Gauss消去法求解方程组及其通用程序；

3．解三对角方程组的追赶法；

4．用LU分解法解线性方程组及其通用程序；

5．解对称正定方程组的Cholesky分解法；

6．迭代法的一般理论

向量范数和矩阵范数，迭代格式的构造，迭代的收敛性；

7．雅克比迭代法；

雅克比迭代公式及及其通用程序，收敛性分析；

8．高斯赛德尔迭代法

高斯赛德尔迭代法及及其通用程序，收敛性分析；

9．逐次超松弛迭代法

逐次超松弛迭代法及及其通用程序，收敛性分析；

【复习思考】

1．顺序Gauss消去法的基本思想是什么？顺序Gauss消去法能进行到底的条件是什么？

2．为什么要采用列主元Gauss消去法？

3．矩阵能进行三角分解的条件是什么？平方根法适用求解什么类型的方程组？

4．判别病态方程组的常用方法有哪些？

5．Jacobi迭代、高斯赛德尔迭代、逐次超松弛迭代的计算公式？

6．判别迭代法收敛的判别条件有哪些？

 

第3章 非线性方程的数值解法(9学时)

【教学目的与要求】

1．了解二分法基本概念和定理，理解误差估计与收敛性分析，掌握二分法及其程序实现；

2．了解迭代法的基本思想分，理解误差估计与收敛性分析，掌握迭代法的加速技巧；

3．了解Newton法的基本思想与算法，理解Newton法的几何意义和收敛速度，掌握牛顿法的程序实现．

【教学重点】

二分法及其程序实现，Newton法的几何意义，牛顿法的程序实现．

【教学难点】

Newton法的几何意义

【教学方法】

1．讲授法：通过多媒体课件和传统教学相结合，阐明课程教学内容，使得学生掌握本章节的基本知识；

2．讲练结合法：采用以教师讲授为主，课堂练习、讨论为辅的授课方式，强化学生数值计算能力和应用能力的培养；

3．实验法：通过上机编程，训练提升学生的动手能力、小组沟通协作能力、逻辑思维能力等，逐步提升利用数学软件解决实际问题能力；

 

4．案例教学法：通过文本、视频、语音等方式呈现现实案例，理论联系实际，实现知识的有效整合，培养学生分析、解决问题的能力，培养学生反思性思维和批判性思维能力．

【教学内容】

1．根的搜索与二分法

二分法基本概念和定理，误差估计与收敛性分析，二分法及其程序实现．

2．简单迭代法及其加速技巧

迭代法的基本思想，误差估计与收敛性分析，迭代法的加速技巧．

3．Newton型方法

Newton法的基本思想与算法，Newton法的几何意义和收敛速度，牛顿法的程序实现．

【复习思考】

1．什么是二分法？它的优缺点分别是？

2．什么是迭代法？它的收敛条件、几何意义分别是什么？

3．牛顿迭代法的基本思想是什么？它的优缺点分别是什么？

 

第4章 插值法与最小二乘拟合(10学时)

【教学目的与要求】

1．深刻理解Lagrange插值多项式，熟练掌握Lagrange插值公式的计算，插值余项；

2．深刻理解差商及其性质，熟练掌握Newton基本插值公式；

3．了解高阶插值的Rung现象，熟练掌握三阶样条插值及其通用程序；

4．了解最小二乘法，掌握正交二乘拟合以及多项式拟合的通用程序；

【教学重点】

Lagrange插值公式的计算，Newton基本插值公式，正交二乘拟合以及多项式拟合的通用程序．

【教学难点】

三阶样条插值及其通用程序．

【教学方法】

1．讲授法：通过多媒体课件和传统教学相结合，阐明课程教学内容，使得学生掌握本章节的基本知识；

2．讲练结合法：采用以教师讲授为主，课堂练习、讨论为辅的授课方式，强化学生数值计算能力和应用能力的培养；

 

3．实验法：通过上机编程，训练提升学生的动手能力、小组沟通协作能力、逻辑思维能力等，逐步提升利用数学软件解决实际问题能力；

4．案例教学法：通过文本、视频、语音等方式呈现现实案例，理论联系实际，实现知识的有效整合，培养学生分析、解决问题的能力，培养学生反思性思维和批判性思维能力．

【教学内容】

1．多项式插值

Lagrange插值多项式，Lagrange插值公式的计算，插值余项．

2．牛顿插值法

差商及其性质，Newton基本插值公式．

3．样条插值法

高阶插值的Rung现象，三阶样条插值及其通用程序．

4．最小二乘拟合

最小二乘法，正交二乘拟合，多项式拟合的通用程序．

5．通过具体例题计算，使用数学软件上机编程，加深掌握拉格朗日插值、分段低次插值、最小二乘法等知识点．

【复习思考】

1．什么是拉格朗日插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？

2．给出插值多项式的余项表达式．如何用它估计截断误差？

3． 为什么高次多项式插值不能令人满意？分段低次插值与单个高次多项式插值相比有何优点？

4．最小二乘曲线拟合的定义？法方程组的表达式？插值与拟合的区别？

第5章 数值积分和数值微分(9学时)

【教学目的与要求】

1．深刻理解插值型求积公式，掌握其算法；

2．了解梯形公式及其误差，辛普森公式及其误差，科茨公式及其误差，并掌握公式的算法；

3．了解复化梯形公式及复化辛普森公式，掌握其通用程序；

4．理解龙贝格求积公式的算法推导，掌握其通用程序；

5．理解高斯型求积公式的算法原理，掌握其通用程序；

6．了解差商法，掌握插值型求导公式．

7． 通过具体例题计算，使用数学软件上机编程，加深掌握复合求积公式、龙贝格算法、高斯求积公式等知识点．

【教学重点】

插值型求积公式，龙贝格求积公式，高斯型求积公式，插值型求导公式．

【教学难点】

龙贝格求积公式，高斯型求积公式．

【教学方法】

1．讲授法：通过多媒体课件和传统教学相结合，阐明课程教学内容，使得学生掌握本章节的基本知识；

2．讲练结合法：采用以教师讲授为主，课堂练习、讨论为辅的授课方式，强化学生数值计算能力和应用能力的培养；

3．实验法：通过上机编程，训练提升学生的动手能力、小组沟通协作能力、逻辑思维能力等，逐步提升利用数学软件解决实际问题能力；

4．案例教学法：通过文本、视频、语音等方式呈现现实案例，理论联系实际，实现知识的有效整合，培养学生分析、解决问题的能力，培养学生反思性思维和批判性思维能力．

【教学内容】

1．插值型求积公式

插值型求积公式，及其算法．

2．几个常用的求积公式

梯形公式及其误差，辛普森公式及其误差，科茨公式及其误差，以及公式的算法．

3．复化求积公式

了解复化梯形公式及其通用程序，复化辛普森公式及其通用程序．

4．龙贝格求积公式

龙贝格求积公式的算法推导，及其通用程序．

5．高斯型求积公式

高斯型求积公式的算法原理，及其通用程序．

6．数值微分法

差商法，插值型求导公式．

【复习思考】

1．求积公式的代数精度，梯形公式、中矩形公式的代数精度是多少？

2．什么是复合求积法？给出复合梯形公式及其余项表达式．

3．什么是高斯型求积公式？它的求积节点是如何确定的？它的代数精度是多少？

 

 

 

第6章 常微分方程初值问题的数值解法

【教学目的与要求】

掌握计算常微分方程的欧拉方法和改进的欧拉方法．理解龙格-库塔方法、亚当姆斯方法，了解收敛性与稳定性．使用Matlab等编程完成本章中涉及相关问题的数值计算．

【教学重点】

欧拉方法、梯形方法和改进的欧拉方法．

【教学难点】

龙格-库塔方法、亚当姆斯方法、计算格式的收敛性与稳定性．

【教学方法】

1．讲授法：通过多媒体课件和传统教学相结合，阐明课程教学内容，使得学生掌握本章节的基本知识；

2．讲练结合法：采用以教师讲授为主，课堂练习、讨论为辅的授课方式，强化学生数值计算能力和应用能力的培养；

3．实验法：通过上机编程，训练提升学生的动手能力、小组沟通协作能力、逻辑思维能力等，逐步提升利用数学软件解决实际问题能力．

【教学内容】

1．常微分方程初值问题引言；

2．简单数值解法；

3．龙格-库塔；

4．单步法的收敛性与稳定性；

5．线性多步法；

6．通过具体例题计算，使用数学软件上机编程，加深掌握欧拉方法、梯形方法和改进的欧拉方法等知识点．    

【复习思考】

1．什么是欧拉法和后退的欧拉法？并给出局部截断误差．

2．什么是单步法得局部截断误差？何谓数值方法是p阶精度？

3． 显示方法与隐式方法的根本区别是什么？如何求解隐式方程？应如何给出迭代初始值？

七、考核方式及成绩评定

1． 考核方式与课程目标的关系

1. 成绩评定

   （1）考核方式

   课程考核方式分为平时考核、实验考核和期末考核．平时考核方式包括课堂表现及作业等；实验考核包括集中5-6次线下或线上机实验测试，期末考核采用期末开卷考试的形式．

   （2）总成绩评定

   总成绩 = 平时成绩*30% + 实验测试*10%（期中考试）+ 期末成绩*60%

   （3）平时成绩评定（100分）

   平时成绩（100%）= 课堂表现（50%）+ 平时作业（50%）

   （4）实验测试成绩评定(期中考试成绩）

   实验通过线下本机编程环境练习，或者其它在线平台练习．每次实验练习100分，实验测试成绩按照集中5-6次练习的平均成绩记分．

   （5）期末成绩评定（100分）

   期末考核主要考查学生对插值与拟合、数值积分与微分、常微分方程数值解等基本概念、基本理论的掌握，以及运用这些知识及软件工具解决问题的能力等．方式为开卷考试．要求学生掌握数值分析课程中的基本概念、方法，能运用所学知识解决相关问题．